几个相同的 0 和 1，既是一个数，也是一条指令：计算机怎么认数与跑程序

如果只让你用手头的 32 个小开关表示一件东西，你会怎么描述它的「大小」？再进一步，要求这同一排开关不仅能表示一个大数，还能在某种读法下变成「把开关 6 里存的两个数加起来，放回开关 3」这样一句话操作，你又会怎么设计？

这不是脑筋急转弯。它正是今天每台手机、每台电脑每天都在做的事：用有限几位的 0 和 1，既算得对，又跑得动你写的程序。这门课的这一讲，就是要回答一个问题：同样的 0 和 1，凭什么既能当数用、又能当指令用，还都能不出错？我们先把「认数」讲清楚，再顺着历史拐一个弯看它怎么变成「跑程序」，最后跟着一条真实指令从头走到尾，把整讲串成一条线。

一、为什么万物都只认 0 和 1？数字到底是怎么「拼」出来的

先问一个最朴素的问题：为什么偏偏是 0 和 1，而不是我们从小就用的 0 到 9？

答案要先回到「数本身是怎么写出来的」。你写的 9472，其实是四个数字各带着自己的权值叠出来的：9 在千位所以值 9000，4 在百位是 400，7 在十位是 70，最后 2 是个位，拼起来才得到九千四百七十二。也就是说，同样的一个符号，安在不同位置上，代表的大小不一样。十进制的「十」根源于我们有十根手指，玛雅人用 20 进制、巴比伦人用 60 进制，时间上用 12 和 60，这些都只是换了套数位记法的选择，不是数学上的天赋特权。

计算机选中这两位的理由很简单：在电路里分辨「有没有电」比分辨「有 0.3 伏、0.5 伏还是 0.9 伏」可靠得多。既然整个世界在机器里都化成了 0 和 1，我们就规定这种记法叫二进制（binary）：每一位的权值不是 10 的幂，而是 2 的幂。于是拆分的方法完全照搬十进制，只是把底数从 10 换成 2。比如二进制 1011，就是从右往左读作 $1\times2^0 + 1\times2^1 + 0\times2^2 + 1\times2^3 = 11$。

因为写一长串 0、1 实在太费眼，工程上常用**十六进制（hexadecimal）**作缩写：用 0 到 9 加 A 到 F 表示 0 到 15，每 4 个二进制位正好压缩成一个十六进制位。三种写法同一个数，只不过按约定标注前缀：十进制不带前缀，二进制写作 0b1011，十六进制写作 0xB。课件里那张常用数制表就是这个换算的速查表。

那一位 0 或 1 到底能表达多大事？很遗憾，单独一位撑不起什么：它只能承诺「红还是不红」这种二选一。把若干位拼在一起，能表示的取值数就按指数涨上去。一般地说，用 base 为 B、n 位去编码，能表示的取值至多有 $B^n$ 种，因为每一位都得从 B 个候选里挑一个。回扣日常的信息量：26 个字母要 5 位（$2^5=32$ 够放 26 个），带大小写和标点要凑到 7 位成 ASCII 码；一个 500 人的班给学生发 ID，需要 9 位（$2^9=512>500$）。红绿蓝三色只要 2 位就能安排得下 $2^2=4$ 种组合。位数定了，能装的信息就是定死的，这正是后面所有麻烦的起点。

课件这一讲用到的二进制、补码与各类格式，几乎都能在一本经典教材里找到对应章节：Patterson 与 Hennessy 合著的 Computer Organization and Design: RISC-V Edition（第 2 版，2020）把「有符号无符号数」放在第 2 章、IEEE 754 放在第 3 章的浮点一节、处理器数据通路放在第 4 章、内存层次放在第 5 章。P&H RISC-V

先记住这个地基：进制只是换底数的记法，而机器的加工工厂只建在 0/1 两进制上。接下来要面对一个棘手的现实正好从这里长出来：位数一固定，负数放哪儿、小数放哪儿？下一节先看最简单的整数。

二、负数怎么表示才不捣乱？符号位直接抄近路，为什么输给了补码

无符号整数：天然友好，但没地方写「负号」

把若干位直接当非负整数读，是最自然不过的表法。4 位来看，0b100 就是 4。n 位无符号整数的范围是 0 到 $2^n-1$，全部码位都用来装大小了。它唯一的软肋是没有负号，一碰到减法、温度、欠款这类带方向的量就束手无策。所以我们得专门给「有符号整数」另想办法。

直觉上最省事的做法，是干脆挪出最高的一位当符号位：这一位叫 MSB（最高有效位，Most Significant Bit），1 表示负、0 表示正，剩下的位照旧读大小。这就是**符号与数值（Sign & Magnitude）**表示。听着很顺，可它埋了两个雷。第一个是浪费：既然最高位只管正负，按同一位串去读，就会同时冒出 +0 和 -0 两个零。第二个更要命：两数相加时，硬件没法直接把位串加起来完事，必须先比符号、再按同号还是异号分情况处理，等于给加法器加了一套额外规则。

二进制补码：用一点聪明的浪费，换一个不啰嗦的加法器

现代所有硬件清一色用的是二进制补码（two's complement）。它怎么定义负数的？一句话：取相反数 = 按位取反再加一。+7 是 0b 0000 0111，把它每一位翻过来得 1111 1000，再加一得到 0b 1111 1001，这就是 -7。想验证也很简单：把 +7 和 -7 两串直接加在一起，你会得到 0b 1 0000 0000，溢出丢掉进位后正好回到 0，所以这确实是互为相反数。

补码的好处要回到 MSB 上看。最高位仍在兼任符号，但它不再像符号与数值那样需要单独的规则：同一套加法器，把正数减负数当普通二进制加法直接算就行，符号位不用特殊对待。为什么能这样？因为补码有一个近乎偷懒的编码设计，把码位「绕成了一个环」。看下面这张课件里的旋转轮盘：

图注：课件补码「旋转式编码」轮盘（课件原图）。补码把数安排成一个环：正整数排满半圈，加一跨过最大值后就直接绕回另一头的负数区。所以同一套加法器对正负一视同仁，减一个数等于加它的相反数。

顺着这张图体会旋转的含义：在正数最大值那里再加一，不报错也不进位停下，而是顺着环绕到最负的那端去。正是这种「绕圈」消除了 +0 与 -0 的重复：那个被符号与数值浪费掉的 -0，在补码里恰好被用作最小负数 $-2^{n-1}$，于是补码的负数比正数多一个，还白赚了一块能精确表达的范围。课件给出一个直观例子：8 位里 +7 与 -7 分别是 0000 0111 与 1111 1001，两者相加直接归零。

把位宽放宽到真实硬件，RV32I 的整数寄存器是 32 位的，补码能表示的范围就是 $-2^{31}$ 到 $2^{31}-1$，其中寄存器 x0 硬接成恒零，写进去会被直接丢弃，往往可以当「常数 0」来用。RISC-V spec

一句话收束：符号与数值把规则做了一半，补码则用少掉一个编码位的小小浪费，换来了一台对正负一视同仁、减法自动退化成加法的加法器。硬件怕的就是两套规则，这正是补码胜出的原因。

三、装不下的数和零点几：溢出与 IEEE 754 拆解同一件事

先立一道墙：溢出

补码解决的是「放得下」时的算术；可一旦结果放不下，麻烦就来了。**溢出（overflow）**指的是：算术运算的数学结果无法用被固定的硬件位数表示。课件给了两个例子：无符号那串全 1 的 0b1…1 再加 1，数学上应该变成 $2^n$，可硬件只留了 n 位，一进位就被丢弃，结果悄悄绕回 0b0…0 也就是 0，数学上完全不对；同理补码最大正数 0b01…1 加 1 会翻成最高位为 1 的 0b10…0，那在补码读来是 $-2^{n-1}$ 而非 $+2^{n-1}$。

先记住这道墙：位数固定，结果一旦越界就出错且常常是很隐蔽地错。整数尚且如此，遇上想要极大又极小的数，比如光速这种跨度，直接把小数按位存是存不下的，必须换一种玩法。

IEEE 754：把数拆成 符号 × 尾数 × 2^指数

科学计数法早已教会我们一招：别把一个数平铺着写，把它拆成「大小在 1 到 2 之间的尾数」去乘上 2 的若干次方。IEEE 754 单精度（一个 float，实际叫 binary32）就是把这一招落到了固定的 32 位上：这 32 位被切成三段，当头 1 位表正负符号，中间 8 位存指数，最后 23 位存尾数。IEEE 754-2019

图注：IEEE 754 单精度一个 float 的内存布局（Wikimedia Commons，CC BY 3.0）：32 位从左到右分成 1 位符号 sign、8 位指数 exponent、23 位尾数 fraction，图示样本读出为 0.15625。它示意的是字段切分与命名，图中未标 bias/隐藏位。

顺着这个套路还有三个「为什么」要补，这三处课件没展开，却是把设计动机讲透的关键，Goldberg 在经典教程 What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic（ACM Computing Surveys, 1991）里讲得最清楚：

为什么指数要偏置？ 指数可正可负，IEEE 不用符号位也不用补码存它，而是给它加一个固定偏移 bias=127，把「读出的同位数的无符号指数」减 127 才是真指数。好处是 8 位无符号指数 0 到 255 全都能被平铺使用，不必为负数发愁。

为什么尾数最左那一位不占位？ 规格化浮点数的尾数总在 1 到 2 之间，最高那位恒为 1。既然恒为 1，就没理由花钱存它，这一位被当作**隐藏位（hidden bit）**省掉，于是文件里只存 23 位、实际语义上是 24 位的精度。

为什么默认「最近取偶」舍入？ 两个数的真实结果往往落在两个可表示浮点正中间，那到底舍向哪头？IEEE 默认的是 rounded-to-nearest-even：恰逢中点时，让保留下来的最低位取偶数。这样做的深层理由是避免「每次都朝同一方向舍、误差单向累积漂移」这类系统性偏差。Goldberg

课件拿光速来演示这读法：c 写成二进制规格化是 $1.0001\dots\times2^{28}$，符号位 0，指数 28 加偏置 127 得 155（二进制 1001 1011），尾数只存去掉首位 1 的后 23 位。特殊的情形（正负 0、正负无穷、NaN 这类非数、以及 0 与最小规格化数之间的 subnormal 渐变下溢）也都有约定好的编码，这里按下不表，只需知道一个数并不是非黑即白：它还可以是「无限大」「不是数」和「接近零的小尾巴」。

bfloat16：给机器学习砍尾数、保指数

FP32 已经是 32 位了，可人工智能训练的显存吃紧，工程师想要更省的 16 位。问题是拿哪个 16 位法？IEEE 正式的 binary16（FP16）只有 5 位指数，范围窄到需要额外的 loss scaling 才能训练稳。于是有人反其道而行：保留 FP32 那完整的 8 位指数，只把 23 位尾数砍到 7 位，凑成 1+8+7 就是 bfloat16（brain floating point）。因为指数位一个没少，bfloat16 的数值范围跟 FP32 几乎完全一致，训练时连超参都不用调。从 FP32 转成 bfloat16 也简单：截掉低 16 位尾数，再按最近取偶舍入即可；而把 BF16 数据加宽回 FP32（比如在累加、更新权重之前）时，只需把低位缺失的尾数补零。bfloat16

课件那张 bfloat16 位结构图，正是拿来和单精度对照着看的：

图注：课件 bfloat16 位结构图（课件原图）。格式用 16 位，1/8/7 三段排布，其中 8 位指数与 FP32 的指数位完全一致，被视作 32 位 IEEE 单精度的缩短版，用于加速机器学习。

它在实际训练里怎么用？并非全链路都降成 16 位，而是张量数据的存取用 BF16、累加和权重更新仍留在 FP32——下面这张论文里的混合精度数据流阐明了这种分工。

图注：Kalamkar 等论文 Figure 1 的混合精度数据流：神经网络各层的张量以 BF16 传输与存取，图中的「Q」转换器负责 BF16 与 FP32 间的换算，而偏置与权重更新始终用 FP32 保精度。bfloat16

到这里，「数字怎么表示才算得对」的问题画上了句号：位数一固定，整数和小数是同一场赌局，要么像补码那样把冗余让给单一符号语义，要么像 IEEE 754 那样把位数切成符号、指数、尾数去换一个几乎能盖住宇宙尺度的动态范围。可电脑里除了数字还有别的——我们写下的「程序」是怎么被记住、被读起来的？这要等一个历史性的观念突破。

四、程序也是一段放进内存的数字：存储程序如何催生三大件

ENIAC 的困境：想换问题，先插两天线

换个角度问：如果把一串 0 和 1 存进内存，它能表示的不止数字，还可能是「要机器做的事」吗？这听起来疯狂，却是计算机史上最关键的转向。早期的电子计算机并不这么想。1946 年公开的 ENIAC（宾夕法尼亚大学）算得极快，课件口径是 10 位数乘 10 位数只要约 2.8 毫秒，但它的「程序」靠接线板和开关拼出来，每换一个新问题往往要重新配线，达到「很多天」的量级（课件写的是 2 到 3 天，权威档案只佐证到多天量级，此处保留课件口径）。机器再快，编程的人却被焊死在插线台上。

存储程序：程序也是能住的居民

让程序真正住进内存的，是所谓**存储程序（stored-program）**概念：程序不必以单独的电线形式存在，它像数据一样，被写成 0 和 1 放进内存；于是重新编程 = 重写内存，而不是重接线路。EDVAC

这个概念的最早书面勾勒，出现在 1945 年 6 月 30 日 von Neumann 署名的《EDVAC 报告第一稿》里。需要说明的是，von Neumann 是这份报告的作者与传播者，其思想源自当时宾大 Moore School 团队（Eckert、Mauchly 等人）的讨论语境，把功劳单独记在他一个人头上并不公允。准确的说法是：这份报告把「指令与数据同存于同一台可互换存储器、由中央控制按序取出执行」的思想最早写成了书面文字并广泛流传，而「冯·诺依曼架构」「存储程序」这两个名字反而是后人贴上去的标签。它和今天 CPU 的关系只看这张课件框图就清楚了：

图注：课件冯·诺依曼架构框图（课件原图）。中心是内存，指令与数据同挂在一条总线上、由同一个内存控制器读出；处理器（CPU）从中取指令、再取它要加工的数据，两者共用同一个地址空间。

同一个数，两种读法

存储程序的奇妙后果，在于「一个内存里的数到底是数值还是指令，完全看你拿什么来解释它」。课件举的例子是最佳示范：同一串 0x007302B3，把它当十进制大数读是 7,537,331；可把它当一种约定语言（指令集）来解释，它又是一条 RISC-V 指令 add x5, x6, x7（把寄存器 x6 和 x7 的数字加起来，存进 x5）。一个数同时是数值和操作，处理器看它是什么、它就照着哪个角色执行。

顺着这个「谁来解释」的问题，三大件的分工图就出来了。计算机可以抽象成三样相互咬合的东西：

这张工厂图是这一讲反复复用的骨架：处理器是负责动手干活的车间与下指令的生产计划，内存是堆原料和半成品的库房，**输入输出（I/O）**是跟外界交接货物的口岸。内存里躺着的那串 0 和 1 自己不会说话，是处理器拿它当指令还是当数值用，才决定了它的身份。要彻底听懂一台程序计算机，这一步是关键：先接受「内存里的都是没被解释的 0/1」这一事实。

五、想又快又便宜，就得把记的东西分几层放：内存层次与拖到 I/O 的磁盘

速度、容量、价位：一个三角里只能抓到两样

理解了「统一存储」的架构之后，新的矛盾冒出来：这台内存又大又快又便宜，现实中并不存在。快、大、便宜是三个相互打架的指标，速度上去，单位容量价格就跟着涨、容量还得往下降。怎么办？答案是把存储做成一个层次，而不是一块。

这个层次非常像你用一个书架：你把最常用的几本书放在手边桌面上，次常用的放书桌抽屉，很少翻的挪到高层书架顶。因为每次动作都从手边开始找，绝大多数时候命中极快，只有找不到时才去更外层翻。处理器这边的对应物就是——寄存器（手边）、缓存（桌面）、主存（抽屉）、磁盘（远处书架）这么一层层铺开。缓存（cache）正是靠「把最常命中的数据放到更快一格」生效，读者体验到的是「几乎和最快的一样快、几乎和最大的一样大」的错觉。它并不真的都装得下，它只是让常用的都在手边。下方的课件层次图把这条从快到慢的排布钉死：

图注：课件内存层次结构图（课件原图）。存储被排成由快到慢、由贵到便宜的金字塔阶梯：寄存器、缓存、主存往下再到磁盘；越靠上越快越贵越小，越靠下越慢越便宜越大。

主存为何会「失忆」：RAM 与 ROM

层级内部还要分「失忆」与「不失忆」。主存里最主流的是 RAM（随机存取存储器，Random Access Memory），它分更快的 SRAM 与更省的 DRAM 两亲兄弟，共同点是易失：一断电，里面存的所有东西当场作废。你现在在跑的软件，恰恰就放在这种一关机就丢的 RAM 里，所以开机后要重新从别处把它们请回来。而 ROM（只读存储器）那一族（从生产时就固化内容的 MROM 到可擦写的 EPROM/EEPROM）是非易失的，断电也能留住，适合装开机自启的固件。区分「易失/非易失」永远是理解主存的第一件事。

磁盘是 I/O，不是内存

顺着层次最慢的那一层往下，就容易出一个概念性混淆：硬盘仓库算不算「内存」？课件的判断非常锋利：磁盘不是内存，磁盘是挂在 I/O 上的设备。理由有三：它不按内存那种按地址随机访问的粒度来读写，而按一个个数据块访问；它是块设备、经 I/O 通道进出；甚至极端些，当你需要的一切都在 RAM 里时，电脑拔掉磁盘也能开起来跑。它是断电也能留数据的非易失大仓库，跟易失去电的主存不是一个物种，只是常和主存并排出现在同一张层次图里，容易让你默认它俩同类。

那仓库本体又有两种物理实现。**机械硬盘（HDD）**靠磁化高速旋转盘片上的磁性材料存数，读到它要等盘片转到位、磁头移动到位，所以访问慢（课件 2010s 口径约 12ms 量级）；还怕振动引起磁头撞上盘面的「磁头碰撞」，也怕文件碎片化。**固态硬盘（SSD）**没有机械运动，靠把电荷困在 NAND 闪存的半导体单元里表示 0 和 1，比 HDD 快得多、也更省电，这是今天手机和笔记本的主流。

NAND 的核心玩法在「一个单元存几位」。闪存厂商 KIOXIA 用一篇很直白的科普把这件事讲清了：早期一个存储单元只能存两个电荷态，即 1 bit，称作 SLC；后来能在同一单元塞下 4 个电荷态，就让每单元存 2 bit（MLC），容量不换尺寸就翻倍；再往后是 8 态 3 bit 的 TLC、16 态 4 bit 的 QLC。可天下没有白来的密度：每单元塞的位数越多，写/擦耐久越低、读写越慢、对纠错的要求越高。KIOXIA

你有没有发现这套「塞得越多越容易错」的取舍，和上一节 bfloat16 砍尾数换范围其实是一模一样的主张？两个话题共享同一个母题：有限资源里，密度与鲁棒性是此消彼长的两面。

课件那张 HDD vs SSD 的对比表把两边的差异系统整理了出来，但它标的价格与容量是 2010s 口径。真正能回答“该选谁”的结论，是用有日期的动态数据补上去的：Backblaze 这家云厂商公开自己真实硬盘采购记录，每 GB 价格从 2009 年约 $0.114 一路降到 2022 年 11 月约 $0.014，累计降了约 87%（统计截至 2022 年 11 月，不等于今天的行情，2025-2026 受 AI 需求影响 SSD 相对 HDD 价差还在拉大）。Backblaze 成本

而在可靠性与寿命上，也别再拘泥于「一块盘用 5 到 10 年」这种精确寿命的说法：Backblaze 2026 年第一季度在其管理的数据中心里监控了约 34 万块 HDD，季度年化故障率约 1.24%、累计终身约 1.39%。更值得记住的是它那句方法论提醒：某些型号一年坏一块就会把故障率顶得很高，看故障率要看大盘趋势，别盯着单一型号的小样本下结论。Backblaze 可靠性

所以存储是一整个用速度、容量、价位层层兑换出来的梯度，「磁盘是不是内存」是这个梯度上最锋利的一道边界。想要把整个工厂讲完，还差最后一环：处理器到底是怎么读那一排 0 和 1 的？

六、处理器在干嘛：跟着 addi 把一条指令切字段、译码、执行走完

指令是软件和硬件的约定语言

回忆第 4 章那个谜题：0x007302B3 既能当数字读，又能译成 add x5, x6, x7。究竟靠什么把它读成一条操作？答案是：把 32 位按一张写死的合同切成若干字段（fields），每个字段看各自那几位。RISC-V 按这个切法有一套固定格式，最常用的寄存器相加是 R 型：最高 7 位 funct7、接着 5 位 rs2、5 位 rs1、3 位 funct3、5 位目标 rd、最低 7 位 opcode。funct7 与 funct3 一起点明「做什么运算」，rs1、rs2 是去取哪两个源寄存器的数，rd 是结果写回哪个目标寄存器。PDF 里的 0x007302B3 填进这些格子，就读出 rs1=x6、rs2=x7、rd=x5、操作是 add。

R 型之外还有五个兄弟格式。下面这是 RISC-V 官方的六格式合成图，它把「同一个 32 位怎么为不同用途重排立即数」一目了然地摊开：

图注：RISC-V 官方基础指令六格式（R/I/S/B/U/J）纵向排列（RISC-V Unprivileged 规范 v20260120）。每一行都把 32 位画成字段框，标出 funct7/rs2/rs1/funct3/rd/opcode 或 imm 立即数的比特位置；opcode 恒定占最低 7 位，其余字段按格式挪动。RISC-V spec

如果你只是想让处理器算一个数和一个立即数，就不用两个寄存器了，改走 I 型（如 addi rd, rs1, imm），把一个 12 位立即数填进原属 rs2 的位置。这就是为什么同一串 0 和 1 的宽度永远是 32 位，却能承担好多不同形状的操作——它只是换着法子安排那几个格子的用途，而 x0 到 x31 的 32 个寄存器（x0 恒零）是所有算式的共同原料。

处理器基本组成：谁在干活、谁在派活

处理器干这件事需要几个零件配合：PC（Program Counter，程序计数器/指令指针），指着下一条要执行的指令藏在内存哪个地址；寄存器，一小组极快、可寻址的小存储；译码器，把 PC 指来的那串 0/1 拆出「做什么、用哪些数」；功能单元，实际动手算的 ALU（算术逻辑单元）等。第 4 章的工厂框架在这里精确对位——数据通路就是车间里那排机床，负责干活的硬件；控制就是生产计划与质检，负责决定每台机床这步该做什么、先后顺序如何。P&H RISC-V

一条指令的旅程：addi t0, x0, 6

把抽象的词一个接一个落到真例子上，不如直接跟着一条真实指令跑一遍全程。就拿课件里那条 addi t0, x0, 6 当发动机：t0 是寄存器 x5 的助记名，x0 恒为 0，所以这句的意思就是「把寄存器 x0 里的 0 加上立即数 6，写进寄存器 t0」，最终 t0 里出现 6。处理器按五个固定步骤走完这条指令：

课件把这五步画成了一幅执行流程图：

图注：课件「指令执行」五步流程图（课件原图）：PC 送地址给内存，内存回指令给译码器，译码器识别源/目标寄存器与操作，功能单元接收寄存器输入执行，最后把结果写回寄存器或内存。图中正是 addi 这条指令依次穿过各部件的情形。

走完你会发现，这一讲前面反复出场过的每个名词——补码、bit 位宽、寄存器、主存、译码器、ALU、输出为 0/1 的字段——在这五个鼓点里全都找到了自己的位置。你写在源代码里的一段程序，编译后变成一行行这样的 32 位数字，硬件就按固定的机器周期、一个接一个地这样切字段、译码、执行。同一个 0x007302B3 既能是数字 7,537,331、又能是加两条寄存器的 add，计算机世界的一切差异，都来自对同一串 0 和 1 的不同解释，与不同硬件的安排。

到这里，这一讲最锋利的那条主线就合上了：开头你看到 0 和 1 被当成数来算得对，后来看到同样的 0 和 1 被当成指令来跑程序。所谓计算机组成原理，讲到底就是管理这批 0/1 的解释权——你给它一个算术地址，它给你一个数；你给它一套字段约定的读法，它还你一步操作。现在再看题目那句「几个相同的 0 和 1，既是一个数，也是一条指令」，应该有底气了：不是它们神秘，而是人类约定了两套读法，硬件在同一串比特上各取所需。

参考文献

本专题引用的核心资料如下，建议深入学习时阅读原文：

1. Computer Organization and Design: RISC-V Edition（第 2 版） — Patterson & Hennessy，Elsevier 书目页
2. IEEE 754-2019 Floating-Point Arithmetic（现行版本记录） — IEEE SA 官方标准检索页
3. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic — David Goldberg, ACM Computing Surveys 1991，Oracle 免费重印
4. A Study of BFLOAT16 for Deep Learning Training — Kalamkar et al., arXiv:1905.12322
5. First Draft of a Report on the EDVAC — John von Neumann, 1945-06-30，MIT STS.035 馆藏 PDF
6. The RISC-V Instruction Set Manual, Vol. I: Unprivileged Architecture (v20260120) — RISC-V 官方规范
7. NAND Flash: The Alphabet Soup, From SLC to QLC — KIOXIA 官方博客, 2025-01-22，原文
8. Hard Drive Cost per Gigabyte over Time — Backblaze（Andy Klein），博客原文
9. Backblaze Drive Stats for Q1 2026 — Backblaze（Stephanie Doyle），季度报告