欧拉两百年的连分数一夜归IBM？专利原文只圈住一段神经网络组合

2025 年 11 月 13 日，一篇题为《IBM Patented Euler's 200 Year Old Math Technique》的文章在 Hacker News 上炸开。副标题写道，IBM 把"AI 可解释性"这个流行词贴到广义连分数上，并且"was awarded a Patent"（已获专利）；正文直接断言 "IBM owns the patent to the use of derivatives to find the convergents of a generalized continued fraction"，还说如果 IBM 想打诉讼，它可以起诉 Sage、Mathematica、Wolfram，"甚至起诉你"。帖子拿到 172 分与 67 条评论，被 GoKawiil、daily.dev 等聚合站转载。标题里的恐慌是现成的：两百年的数学，一夜之间归了一家商业公司？IBM 没有买下欧拉：授权专利 US12619871B2（公开申请号 US20230401438A1）圈住的不是连分数数学，而是把连分数组织成可训练神经网络的一段具体组合的排他权。划定这条边界的，是授权定稿的权利要求（claims），也就是专利文末那几段"我们要求保护……"的条文，标题、摘要、媒体报道都说了不算。至于这段组合能不能被独占，是 §101 与 §103 法律审查的问题，不是标题和媒体叙事的问题。

"IBM 买下欧拉"这条消息，错在哪一步

待审申请被传成"已授权"：三条日期

先摆事实底座。同一件申请在美国专利商标局（USPTO）有两个公开号，对应两个阶段。申请日是 2022-06-09（申请号 US17/806,188，由 International Business Machines Corp 提交）；18 个月公开日是 2023-12-14，公开号 US20230401438A1，此时状态为 Pending（待审）；授权日是 2026-05-05，授权号 US12619871B2，状态为 Active（有效），调整后届满日 2045-03-05（据 Google Patents 元数据）。

LeetArxiv 文章发表的那一天，这件申请在 USPTO 记录里仍是 Pending。文章副标题写"已获授权"，正文却自己写着 "its status marked as pending"，两处自相矛盾。也就是说，恐慌叙事内部先穿帮了一处：它把一件当时还没授权的事说成了既成事实。此后它确实授权了，2026-05-05 的 US12619871B2 让"待审"变成了现实，但叙事本身的结论（"专利覆盖了数学"）并不会因为授权而变得正确。US12619871B2

为什么"权利要求"才是边界

授权时，审查员把申请时的 20 条权利要求收窄成了 13 条，独立权利要求从 1/8/15 变成 1/9/13。这个收缩不是装饰：申请方最初要的范围（涉及连分数 canonical form、continuant 梯度、幂级数解释的多组权利要求）被重排、并入或取消，最后定稿的独立权利要求只剩三组实质等同的文本：claim 1（方法）、claim 9（计算机程序产品）、claim 13（计算机系统）。continuant 梯度与幂级数解释这两样"解释性"内容被放进从属权利要求 3/4/11/12，它们依附于独立权利要求，不是独立的保护对象。

有两点额外信息值得记下。其一，六位发明人（Isha Puri、Amit Dhurandhar、Tejaswini Pedapati、Karthikeyan Shanmugam、Dennis Wei、Kush Raj Varshney）正是 NeurIPS 2021 那篇 CoFrNet 论文的全部署名作者，受让人是 IBM。这是一件由论文长出来的本土专利（home-grown patent），不是买来的授权。其二，专业读者对此的反应早于任何分析：HN 评论区有人留下一句 "RTFC: Read the Fucking Claims"（读权利要求去），一针见血。专利边界只写在权利要求文本里，标题、摘要、媒体报道都说了不算。HN 讨论串

下面这张图把恐慌叙事的主张与权利要求字面以及 USPTO 官方记录逐条摆在一起：

图注：左红栏是 LeetArxiv 文章的五条主张（IBM 拥有导数到收敛子的专利、"200 年数学 + backward() ⇒ 专利"、可起诉 Sage/Wolfram/齿轮/PyTorch、61% 准确率、副标题与正文的 pending/awarded 矛盾），右绿栏以公开申请（US20230401438A1）的独立权利要求 1/8/15、从属 6/7/13/14/20 与 USPTO 时间线逐条反驳（授权后编号收缩为 1/9/13、3/4/11/12）。LeetArxiv

看懂这张图，第一章的事实底座就立住了：权利要求才是边界。接下来我们顺着边界往里走，看看它到底圈住了什么。

绕开「欧拉」，权利要求真正圈住的是哪种组合

先给连分数一个最小定义，够用就行。连分数（continued fraction）是嵌套分式，标准形式（canonical form）写作：

$$x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \cdots}}} = [a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots]$$

它的收敛子（convergents）是逐层截断后得到的有理数，是 $x$ 的最佳有理逼近；分子分母满足的递推多项式叫 continuant，在数学上等价于一个三对角矩阵的行列式。这些事实全部写在 Euler 1737 到 1785 年的论文、Brocot 1861 年的齿轮比论文和 Ramanujan 的口授轶事里，属于再公开不过的公共知识。它不需要、也谈不上被"续租"。连分数史料

那么 claim 1 到底圈了什么？把它逐字翻译成人话，它要求的是这样一套组合：接收维度为 $p$ 的输入 $x$；训练时把 $x$ 依次送过多个连分数层（continued fractions layers）；每一层通过学习自身神经元的权重，计算其输入的线性函数，再经由非线性激活产生输出，喂给下一层；而每个神经元的输出是用倒数函数 $z \to 1/z$ 作为激活算出来的；整体架构是若干"梯子"（ladders）的线性组合，每个梯子由多层连分数层构成；变体限定三种：全输入（每层吃全部 $x$）、对角化（每条 ladder 只吃一个特征 $x_j$）、混合。

把这段字面翻译成神经网络结构，正好就是 CoFrNet 论文的三个代码层要点：分母槽放的是线性函数 $a_k = w_k^\top x$（不是常数）；非线性是倒数 $1/z$（不是 ReLU）；输入 $x$ 被送进每一层（不只是第一层），再用标准反向传播训练。论文 2021 年 12 月发表于 NeurIPS（vol 34，pp. 21668–21690），六位作者均受雇于 IBM；其 arXiv 版本 2506.05586 是 2025 年 6 月补传的，引用时两个时间要并列给出，别把 2025 当成首发表时间。CoFrNetsIBM Research

下面这张图是论文的三变体架构，它就是 claim 1 里那三种 variant 的视觉形态：

图注：三种 CoFrNet 变体，顶部输出三角由若干 ladder 线性组合而成。a) CoFrNet-F 每条 ladder 每层都收整输入 $x$；b) CoFrNet-D 每条 ladder 只收一个特征 $x_j$，退化为加性模型；c) CoFrNet-DL 是两者的混合，用少量由浅到深的全 ladder 捕捉交互项。CoFrNets

把权利要求条文和论文机制逐行对上，映射一目了然：

所以，被专利化的不是连分数。"数学的所有权"与"组合的所有权"是两回事：连分数的数学在 1785 年就全部公开了，而权利要求圈住的是上面这五行具体的神经网络拓扑选择。LeetArxiv 那句"200 年数学 + PyTorch backward() ⇒ 专利"，把"用了旧数学"偷换成了"拥有旧数学"，这是全篇要拆的第二个错。看清组合长什么样之后，下一步的问题是：这段组合凭什么可能被独占？

古老组件拼出的组合，凭什么可能被独占——§101 与 §103 两关

美国专利法给所有"旧组件 + 新组合"设了两道关。35 U.S.C. §101 管"这东西能不能算专利标的"（专利资格），§103 管"它是不是显而易见"。本领域普通技术人员（PHOSITA，person having ordinary skill in the art，就是"懂技术、有动机去组合的普通专家"）的视角贯穿两道关。

§101：抽象概念放进通用计算机，不足以免责

用大白话说：纯数学、自然规律、抽象概念本身不可以被专利；你可以声称"把抽象概念放进了计算机"，但这一步本身不构成发明。最高法院在 Alice v. CLS Bank（2014）里沿 Mayo 两步法审查（Mayo v. Prometheus, 2012 确立该框架）。第一步，问权利要求是否指向抽象概念（数学方法、组织人类活动的方法、心智过程等）。第二步，在权利要求的元素中，逐个看、并且"作为有序组合（as an ordered combination）"整体看，能否找到发明概念（inventive concept），即让专利"实际上显著多于对不可专利概念本身的独占"。Alice 案里最著名的一句话是：在抽象概念后面加上"用计算机实现它"的字样，只是把两步拼在一起，得到"同样有缺陷的结果"（the same deficient result）。Alice v. CLS Bank

审查骨架就是下面这张五节点流程图：

图注：Alice/Mayo 两步法审查流程：先问权利要求是否指向抽象概念，若否即合格；若是，再在元素组合里找发明概念，找到才合格，找不到即不合格。"把抽象概念放进通用计算机"在第二步撑不起发明概念。Alice v. CLS Bank

对 CoFrNet 这类权利要求，关键就不在于"抽象概念存不存在"（倒数非线性放进计算图里，数学气息很重），而在于"通用计算机 + 通用 ML 套新环境"能不能单独撑起 inventive concept。这一步，Alice 显式给了否定答案。

§103：关键不是组件多老，而是申请日前有没有组合动机

第二道关看显而易见性。这里先拆掉一个流行的误判：古老组件自动让组合无效。KSR v. Teleflex（2007）重申了 Graham 四因素框架（已有技术的范围与内容、权利要求与已有技术的差异、本领域普通技术水平、综合判断，外加商业成功等次要考虑），并把"教导-启示-动机"（TSM）测试从刚性规则打回"有帮助的洞察"：不需要在已有技术里找到指向该精确权利要求的明确教导，市场压力、多篇专利互相关联的教导、PHOSITA 的常识推理都可能构成组合动机；"obvious to try"（面对有限个已知可预测的方案去尝试）仍然属于显而易见。KSR v. Teleflex

把尺子放到 CoFrNet 上，真正的战场是：在 2022-06-09 申请日之前，一个本领域普通技术人员有没有可识别的理由，把"倒数非线性 + 线性输入做分母 + 输入送进每一层"拼起来。注意这里要同时拆掉恐慌叙事两个方向的误读：组件古老不自动让组合无效，也不自动让组合有效。"连分数是老数学所以组合不算发明"这个方向的推理，同样被 KSR 否决。审查员确实在这条线上工作：据 HN 评论与 Google Patents legal events 记录，USPTO 在 2025-08-15 对这件申请发出过非最终驳回（non-final rejection），IBM 在 2025-11-17 与 11-21 两次答辩，2026-03-10 获准，2026-05-05 才授权。驳回并不致命，它只是说明：这套组合的有效性，目前两边都没有定论。

审查员手里的新牌：Recentive 案与 USPTO 备忘录

2025 年，判例与行政两侧各加了一张牌。判例侧，联邦巡回上诉法院在 Recentive Analytics v. Fox Corp.（2025-04-18）裁定：只把已确立的机器学习方法套到一个新数据环境、没有披露对模型本身的改进，不构成 inventive concept，在 §101 下不合格。Recentive 行政侧，USPTO 在 2025-08-04 的备忘录里提醒审查员：心智过程分组不要扩张到"无法在人脑中实际完成"的 AI 限定；Step 2A 第二阶段要看"改进技术"与"只是 apply it"的区分；拿不准的 close call，只有置信度超过 50% 才允许发 §101 驳回。USPTO 备忘录 两张牌合起来的意思是：把通用 ML 套到新环境越来越难拿专利，但"具体到某个特定方案、并能在说明书里讲清它改进了什么"的写法仍有空间。

这一章的结论可以压缩成一句话："数学古老"既救不了也害不了这件专利，真正决定成败的是这段组合在申请日前是否显而易见、是否只是抽象概念进了通用计算机。

论文的「可解释性」证据，究竟证明了什么、没证明什么

恐慌叙事里还有一条扩张链条：因为专利与一篇主打"可解释"的论文绑定，所以"IBM 买下了 AI 可解释性"。这条链要把论文亮出的证据和证据能证明的范围分开看。

IC/IPS 到底是什么

CoFrNet 论文提供两种解释机制。IC（Interpretation via Continuants）是对输入的 continuant 一阶梯度，给出每个特征对模型输出的线性归因，论文证明对一条 ladder 的计算代价是 $O(dp)$（$d$ 为深度、$p$ 为维度，一次前向就顺带算完）。IPS（Interpretation via Power Series）把每个连分数层展开成多元幂级数，按单项式系数逐项相加得到全局多项式系数。论文明确承认一般深度要依赖 Mathematica 这类符号工具，而且展开只在分析函数的小邻域内有效。它用 IPS 恢复 Matyas 函数，得到 $0.56x^2 + 0.44y^2 - xy + 0.06x - 0.07y - 0.01$，与真实函数 $0.54x^2 + 0.54y^2 - xy$ 相比，线性项与交叉项基本还原，二次项系数仍有偏差。

论文自己出示的可视化长这样：

图注：上行是三个表格数据集上最重要的对角化 ladder 单变量函数形状；下行是 CIFAR10 的 IC 归因 colormap（蓝=重要性高）与两个文本数据集的词云。注意这是计算性归因的可视化，不是"模型为什么这么判断"的机制解释。CoFrNets

关键区分在这：IC 和 IPS 都是"能算出来的归因"（computational attribution），不是"能向人解释的机制解释"。归因告诉你模型"看了哪些输入"，不告诉你"它为什么这么看"。

为什么"能算"不等于"能解释"

对这个区分，文献给足了两层背书。

经验层来自 Bilodeau 等（PNAS 2024）。任何满足 completeness 与 linearity 两条公理的归因方法（SHAP、Integrated Gradients 都在内），在 ReLU 类网络上的 worst-case 特异性 ≤ 1 − 敏感性，与随机猜测毫无差别；而 CoFrNet 的 IC 是 plain Gradient 的近亲，只在充分小的邻域内可靠。这个不可能定理说明，此类归因指标一般不能单凭数值承担因果解释："某个特征归因高"与"提升该特征会增加输出"之间，没有可依赖的推论关系。IPS 的边界则是论文自己写明的：幂级数展开只在分析函数的小邻域内有效，超出这个小邻域，它给出的系数同样扛不起因果解释。Bilodeau et al.

理论层来自 Caraker 等（arXiv 2026-04，附带 Lean 4 形式化证明）。特征归因存在一个三难（trilemma）：faithful（忠实反映模型）、stable（对重训练稳健）、complete（对所有特征排序）三者只能选两个。完整刻画可能的达成空间后，只有两个家族（Family A 单模型、Family B 集成），不存在第三族；在完全对称的数据生成过程下，稳定排名的期望 Spearman 相关是 $-1/(m-1)$，$m=2$ 时就是抛硬币。他们扫了 77 个公开数据集，92% 含相关系数大于 0.5 的特征对，68% 出现归因不稳定（论文注明这是下界）。Attribution Impossibility

把设计空间定理画出来，就是这一章的视觉落点：

图注：特征归因的设计空间。Family A（单模型方法）忠实且完整但不稳定；Family B（DASH 集成）稳定但牺牲组内完整；理想的（稳定、忠实、完整）点被标注为 infeasible，图上明写"No third option"。这证明"能算出归因数字"与"数字经得起重训练并能指导理解"是两回事。Attribution Impossibility

把上一张图和这张图连起来读：论文亮出的蓝色高亮和词云很好看，但它们的理论家在"理想点不可达"的设计空间里。所以，"可解释性"作为专利价值的扩张叙事，证据本身撑不起来。IC/IPS 至多是诊断工具，而且是脆弱的诊断工具。

把恐慌叙事逐条放回权利要求：到底影响了谁

最后一问：恐慌叙事声称会波及的群体，真的在圈内吗？把 LeetArxiv 的五条主张逐条放回 claim 1/9/13 的字面范围：

逐条核对完，恐慌叙事瞄准的大多数人不在圈内。唯一可能沾边的解释性内容（IC/IPS）挂在从属权利要求上，而它作为"人类可理解解释"的证据强度，上一章说明，这些计算性归因本身不足以单独证明人类可理解的机制解释，且存在适用边界。顺带澄清一处数字：那篇报道里反复出现的 61% 准确率，是作者用 sklearn 生成的数据自己跑出来的 demo，不是原论文在七个数据集上的结果，两者不能混为一谈。US12619871B2LeetArxiv

研究没被杀死，但专利范围没有跟着走

最后平衡一下：这条研究线没有因为专利停摆。同一团队在 2026 年发表 CoFrGeNet（ICML 2026，arXiv 2601.21766），把 transformer block 里的 attention 与 FFN 换成连分数 ladder，用约 2/3 至 1/2 的参数量、更短的预训练时间，就在 GPT2-xl 与 Llama3 上匹敌甚至超越原模型。但授权专利的权利要求只覆盖原 training 侧的连分数层组合，LLM 推理侧不在其中。研究延续不扩张专利范围：专利不会因为后续工作而变宽。

图注：CoFrGeNet 自己的架构（左 CAttnU：转置后经单变量 ladder 与上三角层模拟因果 attention；右 CAttnM：用 L 个 ladder 生成 attention 权重并保持因果方向）。这是同一思路在 2026 年 LLM 主干上的延续，不是 US12619871B2 覆盖范围的证据。CoFrGeNet

回到开头的问题。IBM 买下了什么？它不是买下欧拉，甚至不是买下连分数。US12619871B2 买下的，是把连分数层、线性输入做分母、倒数非线性和标准训练拼成可训练神经网络的那一段具体组合的排他权，保护期到调整后届满日 2045-03-05 为止。而这段组合能否挺过 §101 的抽象概念关与 §103 的显而易见关，是另一件事，要交给 Alice/Mayo、KSR、Recentive 案和 USPTO 的审查档案去回答。恐慌叙事连第一关都没过，因为它从一开始就跳过了权利要求。

参考文献

本专题引用的核心资料如下，建议深入学习时阅读原文：

1. US12619871B2 / US20230401438A1 — Interpretable neural network architecture using continued fractions — Google Patents
2. CoFrNets: Interpretable Neural Architecture Inspired by Continued Fractions（NeurIPS 2021） — arXiv:2506.05586
3. IBM Research publication page for CoFrNets — research.ibm.com
4. Continued fractions — Continuant (mathematics) / Stern-Brocot tree / Euler 1785 / Brocot 1861 / Ramanujan — Wikipedia
5. Alice Corp. v. CLS Bank International, 573 U.S. 208 (2014) — Library of Congress
6. KSR International Co. v. Teleflex Inc., 550 U.S. 398 (2007) — LII Cornell
7. IBM Patented Euler's 200 Year Old Math Technique（LeetArxiv） — leetarxiv.substack.com
8. CoFrGeNet: Continued Fraction Architectures for Language Generation（ICML 2026） — arXiv:2601.21766
9. Recentive Analytics, Inc. v. Fox Corp.（Fed. Cir. 2025-04-18） — CourtListener
10. USPTO 2025-08-04 Kim Memo — Reminders on evaluating §101 subject matter eligibility — uspto.gov
11. Impossibility Theorems for Feature Attribution（Bilodeau et al., PNAS 2024） — arXiv:2212.11870
12. The Attribution Impossibility：No Feature Ranking Is Faithful, Stable, and Complete Under Collinearity（Caraker et al.） — arXiv:2605.21492
13. Hacker News discussion thread 45918732 — news.ycombinator.com