微积分 I 求导：一环扣一环，从链式法则长到 1^∞ 极限

UFUG1102 Calculus I 的 Classwork 6 一共 12 道题，摆在纸面上像是五六个互不相关的主题：链式法则、隐函数求导、反函数求导、反三角函数导数、对数微分，最后还夹了两道用导数算极限的题。很多人做这套题的方式是给每一类背一套公式，然后逐个往里套。

这篇专题想做的事不一样。我们主张这 12 道题其实是同一个根逐环长出来的一条链：隐函数求导是把 $y$ 看成 $y(x)$ 之后再用一次链式法则；反函数求导公式是把链式法则用在「原函数和反函数的复合等于恒等映射」上；反三角函数的六个导数公式是把上一环的公式代进各个反三角函数、再用三角恒等式化简出来的；对数微分是隐函数求导搬到 $\ln y$ 上；而看起来跑到天边去的 $1^\infty$ 极限，不过是 $\ln$ 在 $x=1$ 处导数定义的一次改写。

所以本文按依赖顺序讲，不按题号顺序。每做完一环，会有一道现成工具解不出来的题把下一环逼出来。我们从最底下的那一环开始。

1. 复合函数怎么求导：链式法则与「变化率相乘」的来源

1.1 先看清这一章的地图

在动笔之前，先看一眼整章的骨架。下面这张概念地图把 Classwork 6 里的各个主题画成了节点，箭头表示「要先会哪个，才能学哪个」的前置依赖关系。

图注：这张概念地图把 Chain Rule、Implicit Differentiation、Logarithmic Functions、Logarithmic Differentiation、The Number e as a Limit、反三角函数导数表等核心概念节点，用带箭头的边连成一张前置依赖图，下方各道题号再用虚线连到它们对应的概念。箭头表示依赖关系，不是时间顺序。可以看到隐函数、反函数、反三角、对数微分这几支，全部由「链式法则」这一个节点分出去；图的右下角则收在把导数反过来算极限的那一支上。Stewart Ch.3

从这张图往下走，你会发现一件事：后面每出现一个新工具，都是因为上一环的几道题用现有工具做不出来才被引进来的。整章因此是一条递进的链，不是五段并列的知识点。

1.2 链式法则到底在说什么

先说清楚它要解决的问题。复合函数（composite function）就是「把一个函数的输出当作另一个函数的输入」。比如 $\sin(x^2)$，你要先算 $x^2$，再把结果塞进 $\sin$。这里的 $x^2$ 是内层，$\sin$ 是外层。

对这种函数求导，背幂法则或者背 $\sin$ 的导数是没用的，因为它两者都是。链式法则（chain rule）给出的答案是这样的：如果 $y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 处可导，且 $g(x)$ 在 $x$ 处可导，那么

$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

用 Leibniz 记号写出来更像一句口诀：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$

Stewart 的教材特别提醒过一句：这个写法好记，是因为如果 $dy/du$ 和 $du/dx$ 真是两个分数，就可以把 $du$ 约掉；但严格来讲 $du$ 并没有被定义，所以它只是助记，真正严谨的表述是上面那个 prime 形式。Stewart Ch.3

那「两个变化率相乘」这个直觉是从哪来的？教材里的说法很直接：把 $du/dx$ 看成 $u$ 相对 $x$ 的变化率，把 $dy/du$ 看成 $y$ 相对 $u$ 的变化率，那么 $dy/dx$ 就是 $y$ 相对 $x$ 的变化率。如果 $u$ 的变化速度是 $x$ 的两倍，而 $y$ 的变化速度又是 $u$ 的三倍，那么 $y$ 的变化速度理当是 $x$ 的六倍。Stewart Ch.3

「速度放大」这件事，用一组咬合的齿轮来想非常具体。假设有一串齿轮：中间的齿轮每转 1 圈，被它带动的齿轮转 $k$ 圈；那只再带动下一只转 $m$ 圈。从最开始的齿轮到最后的齿轮，转速就被放大了 $k\cdot m$ 倍。把「转速比」换成「变化率」：内层 $u$ 相对 $x$ 的变化率是 $k$，也就是 $du/dx$；外层 $y$ 相对 $u$ 的变化率是 $m$，也就是 $dy/du$；那么 $y$ 相对 $x$ 的变化率就是 $km$，也就是 $dy/dx$。链式法则把三个变化率乘起来，说的正是这组齿轮的传动比逐级相乘。齿轮咬得越深，传得越远，倍数越乘越多，这恰好也是多重复合函数要一层一层乘下去的原因。

1.3 怎么判断谁是「外函数」

链式法则本身只有一行，难的是判断该拿哪个当外层。Paul Dawkins 的讲义给了一条极好用的元规则：

外函数永远是求值时最后执行的那一步运算。Paul §3.9

拿 $\sec 2x$ 试一下。若要算它的值，你会先算 $2x$，最后才取 $\sec$，所以外函数是 $\sec$，内函数是 $2x$。拿 $\sin\frac{x}{x-1}$ 试一下，你会先算 $\frac{x}{x-1}$，最后取 $\sin$，所以外函数是 $\sin$，内函数是那个分式。规则对每个函数只需要问一句「我最后做哪一步运算」。

Paul 还专门提醒：遇到复杂的多重复合，宁可多写几步、把每一层都写下来，也不要指望在脑子里一步到位。Paul §3.9 下面第 1 题里最绕的那道就得靠这条建议。

1.4 第 1 题：把五个 $d(\cdot)$ 逐层剥开

题目要求把下列各式用 $dx$ 表示，也就是求微分。做法是先用链式法则求出导数，再乘上 $dx$。

(a) $d\left((3x^2+1)^2\right)$：外函数是平方，内函数是 $3x^2+1$。先对外层求导得 $2(3x^2+1)$，再乘内层导数 $6x$。所以导数是 $12x(3x^2+1)$，即

$$d\left((3x^2+1)^2\right)=12x(3x^2+1),dx.$$

(b) $d(|x|)$，$x\neq 0$：$|x|$ 可以看作分段函数，在 $x>0$ 时等于 $x$、在 $x<0$ 时等于 $-x$，因此它的导数是 $\frac{x}{|x|}$。于是

$$d(|x|)=\frac{x}{|x|},dx.$$

(c) $d(\sec 2x)$：最后做的是 $\sec$，内层是 $2x$。$(\sec u)'=\sec u\tan u$，乘内层导数 $2$：

$$d(\sec 2x)=2\sec 2x\tan 2x,dx.$$

(d) $d\left(\sin\frac{x}{x-1}\right)$：外函数是 $\sin$，内层是 $\frac{x}{x-1}$。内层要用商法则，$\left(\frac{x}{x-1}\right)'=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}$。所以

$$d\left(\sin\frac{x}{x-1}\right)=-\frac{1}{(x-1)^2}\cos\frac{x}{x-1},dx.$$

(e) $d(\tan(5-\sin 2x))$，这是五道里最容易绕晕的一道。按「最后做的运算」规则，外函数是 $\tan$，内层是 $5-\sin 2x$；而这个内层还要再拆：最后做的是减法，$-\sin 2x$ 里最后做的是 $\sin$，而 $\sin$ 里面还有 $2x$。也就是说一共要套三次链式法则。从外往内一层层剥：外层 $\tan$ 的导数是 $\sec^2$，减法的导数是减号带来的 $-1$，$\sin 2x$ 的导数是 $\cos 2x\cdot 2$。三条乘起来：

$$d(\tan(5-\sin 2x))=\sec^2(5-\sin 2x)\cdot(-1)\cdot\cos 2x\cdot 2,dx=-2\cos 2x,\sec^2(5-\sin 2x),dx.$$

下面这张示意图把同样的三层嵌套画了出来，可以对着它核对每一层的导数是谁。

图注：这张示意图把 $\tan(5-\sin 2x)$ 拆成三层嵌套框：最外层是 $\tan(u)$，往内一层是 $5-v$，再往内是 $\sin(w)$ 且 $w=2x$；框之间向左的箭头依次标注各层导数 $\sec^2(u)$、$-1$、$\cos(w)$，底部一行给出把三层导数相乘、再补上最内侧的 $2$ 的结果。需要说明的是，这是按讲义里多重复合题型的思路由图像生成模型渲染的辅助示意图，不是任何教材的原文插图，它的作用只是帮你看清「哪一层对应哪个导数」；正式的推导仍以正文逐层写出的步骤为准。Paul §3.9

到这里第一环就磨好了。链式法则不是一条要背的公式，而是一套动作：把复合函数按「最后做的运算」一层层剥开，把每层的变化率相乘。

2. 方程没解出 y，怎么求 dy/dx：隐函数求导与二阶导

2.1 一个记号上的转变

链式法则到手之后，第二章的题会立刻把你卡住。看第 3 题(b)：$x^2+y^2=20$，求 $\frac{dy}{dx}$。麻烦在于这个方程并没有写成 $y=\cdots$ 的样子，你没法直接把 $y$ 看成自变量的显式函数。

隐函数求导（implicit differentiation）解决的正是这件事。它的全部新意只有一个记号上的转变：把 $y$ 看成 $x$ 的可导函数 $y(x)$，哪怕方程没有解出它。一旦这么看，两边对 $x$ 求导就用回你刚学的链式法则了。真正要记住的只有一句话：每遇到一个含 $y$ 的项，求导时都要多乘一个 $\frac{dy}{dx}$，因为 $y$ 也是 $x$ 的函数。Paul §3.10

下面这条五步流程把整个方法串了起来，动笔前先有个骨架。

图注：隐函数求导可以画成一条五步流水线：第一步把 $y$ 看作 $y(x)$，第二步两边对 $x$ 求导，第三步解出 $y'$，第四步用它求切线与法线，第五步再求一次导得到二阶导 $d^2y/dx^2$。图底部用 $x^2+y^2=9$ 在 $(2,\sqrt5)$ 处求切线作示例，那只是同型模板，作业里对应的曲线和点不同，数字要按作业重做。Paul §3.10

2.2 第 3 题：三道题的完整求导

(a) $y^2=x$：两边对 $x$ 求导。右边是 $1$；左边 $y^2$ 是「内函数为 $y$」的幂，导数是 $2y\cdot y'$。于是 $2y,y'=1$，解得

$$y'=\frac{1}{2y}.$$

注意答案里同时含 $x$ 和 $y$，这很正常，因为曲线上的点由 $x$ 和 $y$ 一起决定。

(b) $x^2+y^2=20$：$2x+2y,y'=0$，解得

$$y'=-\frac{x}{y}.$$

(c) $y^2=x^2+\sin(xy)$：左边导数是 $2y,y'$。右边 $x^2$ 的导数是 $2x$；$\sin(xy)$ 的外层是 $\sin$，内层 $xy$ 要用积法则求导得 $y+xy'$，所以 $\sin(xy)$ 的导数是 $\cos(xy)\cdot(y+xy')$。整理：

$$2y,y'=2x+\cos(xy)(y+xy').$$

把带 $y'$ 的项移到一边：$2y,y'-x\cos(xy),y'=2x+y\cos(xy)$，提出 $y'$：

$$y'=\frac{2x+y\cos(xy)}{2y-x\cos(xy)}.$$

2.3 第 4 题：连求两次导

这道题是很多人发怵的类型，$2x^3-3y^2=8$，要求 $d^2y/dx^2$。它的做法可以拆成严格的三步，每一步都能照做。Paul 用 $x^2+y^4=10$ 演示过同样的三步流程，我们把它原样移植到作业的方程上，但数字必须自己重算。Paul §3.12

第一步，先求出一阶导数。 两边对 $x$ 求导：$2x^3$ 的导数是 $6x^2$，$-3y^2$ 的导数是 $-6y,y'$，常数 $8$ 的导数是 $0$：

$$6x^2-6y,y'=0\ \Longrightarrow\ y'=\frac{x^2}{y}.$$

第二步，把 $y'$ 再对 $x$ 求一次导。 现在 $y'=\frac{x^2}{y}$，用商法则，注意分母里的 $y$ 也是 $x$ 的函数，所以对分母求导时要再乘一个 $y'$：

$$y''=\frac{(2x)\cdot y-x^2\cdot y'}{y^2}=\frac{2xy-x^2y'}{y^2}.$$

第三步，把第一步的 $y'$ 代回，消掉答案里的导数。 把 $y'=\frac{x^2}{y}$ 代入 $x^2y'$ 这一项：

$$y''=\frac{2xy-x^2\cdot\frac{x^2}{y}}{y^2}=\frac{2xy-\frac{x^4}{y}}{y^2}=\frac{2xy^2-x^4}{y^3}=\frac{x(2y^2-x^3)}{y^3}.$$

为什么要多做第三步？因为一句很实在的话：做隐函数求导时，答案里出现 $x$ 和 $y$ 无所谓，但答案里不该还留着导数。所以只要 $y'$ 还能代回，就一定要代回，让最终结果只含 $x$ 和 $y$。Paul §3.12

2.4 第 2 题与第 5 题：切线与法线

(第 2 题) 证明 $y=\frac{1}{(1-2x)^3}$ 的每条切线斜率都为正。写成幂的形式 $y=(1-2x)^{-3}$，外函数是 $-3$ 次方，内层是 $1-2x$：

$$y'=-3(1-2x)^{-4}\cdot(-2)=\frac{6}{(1-2x)^4}.$$

分母 $(1-2x)^4$ 在 $x\neq\frac12$ 时恒大于零（偶次方不可能是负数，也只有取零时为零，而取零的点不在定义域内），所以斜率 $\frac{6}{(1-2x)^4}$ 处处为正。这正是题目要证的。

(第 5 题) 法线是过同一点、垂直于切线的直线，法线斜率等于切线斜率的负倒数。两条曲线都要在点 $(2,4)$ 处求法线。

(a) $x^2+y^2=20$ 上，前面已得 $y'=-\frac{x}{y}$，代入 $(2,4)$ 得切线斜率 $-\frac{2}{4}=-\frac12$，法线斜率就是 $2$。过 $(2,4)$：$y-4=2(x-2)$，即 $y=2x$。可以验证 $(2,4)$ 确实在圆上：$4+16=20$。

(b) $x^3+y^3=9xy$，这是笛卡尔叶形线的同型曲线。先验证 $(2,4)$ 在线上：$8+64=72$，$9\cdot2\cdot4=72$，成立。两边对 $x$ 求导，右边 $9xy$ 用积法则：

$$3x^2+3y^2y'=9(y+xy').$$

整理并解出 $y'$：$y'(3y^2-9x)=9y-3x^2$，即 $y'=\frac{9y-3x^2}{3y^2-9x}=\frac{3y-x^2}{y^2-3x}$。代入 $(2,4)$：$\frac{12-4}{16-6}=\frac{8}{10}=\frac45$。切线斜率是 $\frac45$，法线斜率是 $-\frac54$。过 $(2,4)$ 得 $y-4=-\frac54(x-2)$，整理为 $5x+4y=26$。

第二章带走的东西很轻：所谓新东西，不过是「$y$ 是 $x$ 的函数，所以每个含 $y$ 的项求导都要多乘一个 $y'$」这一个记号意识。二阶导就是把这件事老老实实做两遍，最后把 $y'$ 代回消掉。

3. 只知道原函数的导数，怎么求反函数的导数

3.1 新问题浮出来了

到这里，你已经能对复合函数、对没解出 $y$ 的方程求导。第 6 题却问了一件别的事：如果只知道原函数 $f$ 的导数，能不能求出它的反函数 $f^{-1}$ 的导数？

反函数的概念本身不复杂：$f$ 把 $x$ 映到 $y$，$f^{-1}$ 就把 $y$ 映回 $x$，条件是 $f$ 一对一到能反过来的程度。作业给的第 6 题是「推导概念 3 中的公式」，也就是要你证出

$$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$$

这个公式从哪来？它恰恰是把上一章的链式法则用在「原函数和反函数复合起来等于恒等映射」上的结果。

3.2 三步证出公式

关键在恒等式 $f(f^{-1}(x))=x$：先做 $f^{-1}$ 再做 $f$，会把你送回原点，这就是「恒等映射」。从它出发，三步就够。

把最后一行里的字母 $x$ 改叫 $b$，就得到作业要的那个公式 $(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$。这套「从 $g\circ f=\mathrm{id}$ 出发、两边求导、解出反函数导数」的三步，是公开资料里能找到的一条思路。Math.SE Stewart 的教材把这条公式作为隐函数求导章节末尾的一道习题给出陈述，证明过程则留给了读者。Stewart Ch.3

3.3 第 7 题：代具体值时唯一会错的地方

公式本身好记，第 7 题要求算 $x=6$ 处的 $\frac{df^{-1}}{dx}$，才是最容易摔跤的地方。摔跤的原因是符号陷阱：$(f^{-1})'(6)$ 里的 $6$，是反函数的自变量，也就是公式里的 $b$。而 $f'$ 括号里要代入的是 $f^{-1}(6)$，也就是 $6$ 在原函数那一侧对应的值，不是 $6$ 本身。

两种货币的汇率可以帮你想清这件事。原函数 $f$ 像一个方向的兑换：给它 $x$ 单位 A 币，它换出 $f(x)$ 单位 B 币，$f'(x)$ 就是「这一瞬间每多 1 单位 A 能多换多少 B」。反函数 $f^{-1}$ 是反向兑换，把 B 换回 A，它的导数就是「每多 1 单位 B 能换回多少 A」。两个方向的即时汇率互为倒数，这正是公式里那个 $1$ 的来源。而你要问「在 6 单位 B 处的反向汇率是多少」，得先知道 6 单位 B 对应多少 A 币，也就是先算出 $f^{-1}(6)$；$f'$ 里要代入的是这个 A 币的数字，而不是 B 币的 6。这正好对应公式里 $f'$ 的自变量是 $f^{-1}(b)$。

(a) $f(x)=x^3-2$：先求 $f^{-1}(6)$，令 $x^3-2=6$，得 $x^3=8$，$x=2$。再求 $f'(x)=3x^2$，代入 $x=2$ 得 $f'(2)=12$。于是

$$(f^{-1})'(6)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{12}.$$

(b) $f(x)=\frac{2x}{x+2}$：先解 $f^{-1}(6)$，令 $\frac{2x}{x+2}=6$，得 $2x=6x+12$，$-4x=12$，$x=-3$。注意这里 $f^{-1}(6)=-3$，不是 $6$，这就是那个陷阱。再求 $f'(x)$，用商法则得 $\frac{2(x+2)-2x}{(x+2)^2}=\frac{4}{(x+2)^2}$，代入 $x=-3$ 得 $f'(-3)=\frac{4}{(-3+2)^2}=4$。于是

$$(f^{-1})'(6)=\frac{1}{f'(-3)}=\frac{1}{4}.$$

第 7 题的两个答案 $1/12$ 与 $1/4$ 由公式 $(f^{-1})'(b)=1/f'(f^{-1}(b))$ 直接代入核对得到。

这一章带走一句话：反函数求导公式是链式法则用在「原函数与反函数复合成恒等映射」上的结果；代值题唯一会错的地方，就是 $f'$ 里那个自变量到底该填谁。

4. 六个反三角求导公式里的 |x| 和负号从哪来

4.1 把上一环的公式代进反三角函数

上一章得到了反函数求导公式，第 12 题要的却是 $\arcsin$、$\arctan$、$\operatorname{arcsec}$ 这类反三角函数的导数。其实不用新东西：把反函数求导公式代进各个反三角函数，再用三角恒等式化简，六个公式就都出来了。

以 $\arcsin$ 为例。设 $y=\arcsin x$，等价于 $\sin y=x$，且 $y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。这里原函数是 $\sin$，反函数是 $\arcsin$，代公式得 $(\arcsin x)'=\frac{1}{\cos(\arcsin x)}$。这个形式还不好用，得把 $\cos(\arcsin x)$ 化简：由 $\cos^2y+\sin^2y=1$ 得 $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$（因为在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上 $\cos y\ge 0$，取正号）。所以

$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

$\arctan$ 顺着同样一条路走。设 $y=\arctan x$，即 $\tan y=x$，代公式得 $(\arctan x)'=\frac{1}{\sec^2(\arctan x)}$。化简 $\sec^2$：把 $\cos^2y+\sin^2y=1$ 两边除以 $\cos^2y$，得 $1+\tan^2y=\sec^2y$，代 $\tan y=x$ 就得 $\sec^2(\arctan x)=1+x^2$。所以

$$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}.$$

这两条推导（$\cos(\sin^{-1}x)=\sqrt{1-x^2}$、$\sec^2(\tan^{-1}x)=1+x^2$ 的化简）是 Paul 讲义给出的标准过程；其余几个反三角函数只需照同样的套路再走一遍。Paul §3.7

六个公式汇总如下。表中统一采用与作业一致的 $|x|$ 形式。

4.2 |x| 是怎么冒出来的

上表里 $\arcsec$、$\arccsc$ 分母上多出来的 $|x|$，是符号化简的产物，不是硬背的细节。以 $\operatorname{arcsec}$ 为例，设 $y=\operatorname{arcsec} x$，即 $\sec y=x$，其中 $y$ 取值在 $[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$。两边对 $x$ 求导：$\sec y\tan y\cdot y'=1$，所以 $y'=\frac{1}{\sec y\tan y}$。$\sec y$ 就是 $x$，$\tan y$ 还得化简：由 $\tan^2y=\sec^2y-1=x^2-1$ 得 $\tan y=\pm\sqrt{x^2-1}$。符号取哪个，要看 $x$ 的符号：当 $x>0$ 时 $y$ 在第一象限，$\tan y>0$；当 $x<0$ 时 $y$ 在第二象限，$\tan y<0$。合起来就是 $\tan y=\frac{x}{|x|}\sqrt{x^2-1}$。代回：

$$y'=\frac{1}{x\cdot\frac{x}{|x|}\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

分母上的 $x\cdot\frac{x}{|x|}$ 正好化简成 $|x|$，这就是那个 $|x|$ 的来源。要注意，不同教材对 $\operatorname{arcsec}$ 的定义域取值范围选取不同，会得到两种写法：有的用 $\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$，有的用 $\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$。作业采用的是后一种，本专题也全程统一用带 $|x|$ 的形式，避免两套约定混用。Stewart 教材主表用的是不带 $|x|$ 的版本，但在习题注释里也给出了带 $|x|$ 的另一套约定。Stewart Ch.3

4.3 第 12 题：三道题各走一遍

(a) $f(x)=\arcsin\sqrt{1-x^2}$。外函数是 $\arcsin$，内层是 $\sqrt{1-x^2}$。用链式法则：外导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$，其中 $u=\sqrt{1-x^2}$，于是 $1-u^2=1-(1-x^2)=x^2$，外导数是 $\frac{1}{\sqrt{x^2}}=\frac{1}{|x|}$。内层导数是 $\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。乘起来：

$$f'(x)=\frac{1}{|x|}\cdot\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)=-\frac{x}{|x|\sqrt{1-x^2}}.$$

结果要分区间看符号：当 $x>0$ 时 $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；当 $x<0$ 时 $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。这里出现分区间讨论，是因为化简 $\sqrt{x^2}$ 时得到的是 $|x|$，符号得由 $x$ 的正负决定。

(b) $f(x)=\frac{1}{\arctan x}$。写成幂 $\left(\arctan x\right)^{-1}$，外函数是 $-1$ 次方，内层是 $\arctan x$：

$$f'(x)=-(\arctan x)^{-2}\cdot\frac{1}{1+x^2}=-\frac{1}{(1+x^2)(\arctan x)^2}.$$

(c) $f(x)=\operatorname{arcsec}(5x^4)$。外函数是 $\operatorname{arcsec}$，内层 $u=5x^4$。套上表的公式再加链式：外导数是 $\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}$。在定义域内 $u=5x^4>0$，所以 $|u|=5x^4$；内层导数 $u'=20x^3$。于是

$$f'(x)=\frac{20x^3}{5x^4\sqrt{25x^8-1}}=\frac{4}{x\sqrt{25x^8-1}}.$$

这三道题的标准解答在公开讲义里都没有现成的，需要用六个公式加上链式法则、商法则自己搭出来；上面每一步都按公式逐步展开，可以对着批改。Paul §3.7Paul §3.7

这一章想让你记住的是：六个反三角导数公式不是背出来的，是把上一章的公式逐个代进去、再用 $\sin^2+\cos^2=1$ 化简出来的；那个 $|x|$ 是符号化简的产物，不是凭空多出来的系数。

5. x^x 和一团乘幂商，为什么先取对数

5.1 先把 ln 的导数补上

第 8 题要先证两个基础导数：$(\ln x)'=\frac1x$ 和 $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$。它们的证法正好是上一章隐函数求导的直接应用。

设 $y=\log_b x$，由对数定义得 $b^y=x$。两边对 $x$ 求导，左边 $b^y$ 的导数是 $b^y\ln b\cdot y'$（指数函数求导，再用链式法则），右边是 $1$：

$$b^y\ln b\cdot y'=1\ \Longrightarrow\ y'=\frac{1}{b^y\ln b}=\frac{1}{x\ln b}.$$

这里用到了 $b^y=x$。令 $b=e$，$\ln e=1$，就得到 $(\ln x)'=\frac1x$；把 $b$ 换回任意底 $a$，就是 $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$。Stewart Ch.3

MIT 18.01 的讲义给了另一条等价路线，从 $e^w=x$ 出发两边求导，同样能得到 $(\ln x)'=\frac1x$，效果一样。MIT 18.01

5.2 对数微分：一条四步流水线

第 9 题前半段还算常规。$\ln(2x^2+1)$ 直接套链式法则：外函数是 $\ln$，内层 $2x^2+1$，导数是 $\frac{4x}{2x^2+1}$。$\ln|x|$ 稍微麻烦一点，要分两段看：$x>0$ 时它就是 $\ln x$，导数是 $\frac1x$；$x<0$ 时它是 $\ln(-x)$，导数是 $\frac{-1}{-x}=\frac1x$。两段拼起来，$(\ln|x|)'=\frac1x$。

真正的麻烦从第 9 题(c) 开始：$f(x)=\frac{(x^2+1)\sqrt{x+3}}{x-1}$。分子分母都带 x，还有根号和乘积，直接上积法则加商法则会非常啰嗦。这时候换一条路：先取对数，把乘除变成加减、把根号变成乘以分数。这套方法叫对数微分（logarithmic differentiation），流程可以画成一条四步流水线。

把这四步套到第 9 题(c)（$x>1$，各项都为正，取对数不需要加绝对值）：

$$\ln f=\ln(x^2+1)+\frac12\ln(x+3)-\ln(x-1).$$

两边对 $x$ 求导，右边逐项就是链式法则：

$$\frac{f'}{f}=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{2(x+3)}-\frac{1}{x-1}.$$

最后乘回原函数：

$$f'=\frac{(x^2+1)\sqrt{x+3}}{x-1}\left(\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{2(x+3)}-\frac{1}{x-1}\right).$$

Paul 的讲义对这类「乘积加幂加商」的复合函数给过一句直接的动机：用对数微分可以绕开积法则和商法则那一大堆运算。Paul §3.13

5.3 x^x：为什么两条规则都不灵

第 9 题(d) 是 $f(x)=x^x$，$x>0$。这道题才是对数微分非用不可的地方。

想想手上有哪些工具。幂法则 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 要求指数 $n$ 是常数。指数公式 $(a^x)'=a^x\ln a$ 要求底 $a$ 是常数。$x^x$ 的底是变量 $x$，指数也是变量 $x$，两条规则的前提各缺一半，所以它们都不适用。这就是为什么这里只能取对数。

取对数后一切都简单了：$\ln f=x\ln x$。两边对 $x$ 求导，右边用积法则：$(\ln f)'=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1$。按第四步乘回原函数：

$$f'=x^x(\ln x+1).$$

这条三步推导（取对数、求导、乘回）是对数微分的标准范例。MIT 18.01

顺带记住一条防止混用规则的判别：幂法则要求底是变量、指数是常数；指数公式要求底是常数、指数是变量；$x^x$ 两者都是变量，所以只能用对数微分。Paul §3.13

这一章的核心：对数微分不是一条新法则，而是「先取对数把乘幂商压成加减、再用隐函数求导」，专门对付底和指数都是变量的情形。

6. 导数怎么反过来算极限：e 的定义与 1^∞ 型极限

6.1 回到起点：导数本身就是极限

最后一章看起来跑题了。第 10、11 题要算的是极限，不是导数。但它们其实回到了整条链出发的地方：导数的定义本身就是一个极限。

先做第 10 题，证明 $e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}$。作业给了一句提示：考虑 $f(x)=\ln x$ 以及 $f'(1)$ 的定义。上一章刚证过 $(\ln x)'=\frac1x$，所以 $f'(1)=1$。按导数定义写出来：

$$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1.$$

把变量改名为 $t$，令 $x=1+t$，当 $x\to1$ 时 $t\to0$，上式变成

$$\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.$$

现在用到指数函数的连续性：$e^1=e^{\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}}=\lim_{t\to0}e^{\frac{\ln(1+t)}{t}}=\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}$。最右边是因为 $e^{\ln(1+t)}=1+t$。把 $t$ 改回 $x$，就得到

$$e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}.$$

MIT 18.01 的讲义用等价的形式 $\lim_{k\to\infty}(1+1/k)^k=e$ 证过同一件事，两者通过 $x=1/k$ 互相替换，是同一结果。MIT 18.01

6.2 第 11 题：1^∞ 型极限三步法

第 11 题的底趋近于 1、指数趋近于无穷大，这种形状叫 $1^\infty$ 型未定式。它之所以「未定」，是因为底无限接近 1 却又不是 1、指数无限大，结果到底是多少不能一眼看出。处理它的办法和上一章同一个套路：取对数，把幂拿下来变成乘法，求完极限再指数回去。

(a) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{5x}$。先取对数，把指数拿下来：$\ln L=\lim_{x\to\infty}5x\ln\left(1-\frac{2}{x}\right)$。为了用上 $\frac{\ln(1+u)}{u}\to1$，令 $u=-\frac2x$，当 $x\to\infty$ 时 $u\to0$。把 $\ln\left(1-\frac2x\right)$ 写成 $u\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}$：

$$5x\ln\left(1-\frac2x\right)=5x\cdot u\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}=5x\cdot\left(-\frac2x\right)\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}=-10\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\to-10\cdot1=-10.$$

所以 $\ln L\to-10$，指数回去得 $L=e^{-10}$。

(b) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+\sin x)}{x}$。这里没有任何幂，但可以拆成两个基本极限之积：

$$\frac{\ln(1+\sin x)}{x}=\frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}.$$

第一个因子：令 $u=\sin x\to0$，$\frac{\ln(1+u)}{u}\to1$。第二个因子 $\frac{\sin x}{x}\to1$，这正是 $\sin$ 在 $0$ 处导数定义给出的基本极限。两个因子相乘，极限是 $1\cdot1=1$。这里第一个因子用的正是本节 6.1 已建立的 $\ln(1+u)/u\to1$（即 $\ln$ 在 $x=1$ 处的导数定义），和第 10 题同一件事。

6.3 这条链闭合了

现在回头看整章。第 1 题用链式法则把复合函数一层层剥开，第 3、4 题把 $y$ 看成 $y(x)$ 后用链式法则做隐函数求导，第 6、7 题把链式法则用在恒等映射上得到反函数求导公式，第 12 题把反函数公式代进反三角函数，第 8、9 题把隐函数求导搬到对数上处理 $x^x$，而第 10、11 题的 $1^\infty$ 极限，不过是 $\ln$ 在 $x=1$ 处导数定义反过来用一次。

看似跑到别处去的极限题，接的正是链式法则的起点：导数本身就是极限。整条工具链在这里回到它出发的地方，闭上了一个环。

以后再拿到一道陌生的求导题，可以先问自己一句：它属于这条链的哪一环？是复合函数要剥层，是没解出 $y$ 的方程，是要反着求，还是底和指数都在变？问对了这一句，该用哪个工具基本就清楚了。

参考文献

本专题引用的核心资料如下，建议深入学习时阅读原文：

1. Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8e — Chapter 3 Differentiation Rules — https://www.stewartcalculus.com/_update/17/scalcet8_chapter_3.pdf
2. MIT 18.01 Lecture 6 — Exponential and Log, Logarithmic Differentiation — https://ocw.mit.edu/courses/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/f9af0e98490296c99d330faf47389507_lec6.pdf
3. Paul Dawkins, Lamar U. — Implicit Differentiation §3.10 — https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/ImplicitDIff.aspx
4. Paul Dawkins, Lamar U. — Chain Rule §3.9 — https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/chainrule.aspx
5. Paul Dawkins, Lamar U. — Logarithmic Differentiation §3.13 — https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/logdiff.aspx
6. Paul Dawkins, Lamar U. — Higher Order Derivatives §3.12 — https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/HigherOrderDerivatives.aspx
7. Math Stack Exchange Q305510 + Q1557389 — Derivative of Inverse Function Proof — https://math.stackexchange.com/questions/305510/proof-of-derivative-of-invertible-function
8. Paul Dawkins, Lamar U. — Derivatives of Inverse Trig Functions §3.7 — https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/diffinvtrigfcns.aspx