函数在某点没定义也能有极限：把"趋近"从感觉写成能打分的证明
这份复习材料对应讲义《高等微积分 Honors Calculus》（HKUST-GZ）第二单元《Limits and Continuity 极限与连续性》，全部定义与定理编号（2.1–2.30）都对齐该讲义。你已经在直觉上懂"极限描述的是 x 靠近某点时函数值的走向"。我们要做的只有一件事：把这句话从只能靠感觉确认的状态，升级成一种能让判卷人逐行核验、能亲手写出来的严格语言。整篇用你那个经典例子开头：$(x^2-1)/(x-1)$ 在 $x=1$ 处没有定义，却很确定地趋近 $2$。
一、"越来越近"够可靠吗？——先看一个没定义却有答案的点
那个函数就是 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$。它有点特殊：分母在 $x=1$ 处是零，所以 $f(1)$ 根本没定义，你把 $1$ 代进去得到 $0/0$，什么都不是。可你要是问"x 越来越靠近 1 时，这个函数往哪儿去"，几乎没有犹豫地会回答 "2"。因为分子 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 里有一个 $x-1$ 恰好能跟分母约掉，于是在 $x\ne 1$ 的整条线上 $f(x)=x+1$，而 $x+1$ 在 $x$ 靠近 $1$ 时自然向 $2$ 走。列几行数字你就看得更清楚：
| $x$ | $0.9$ | $0.99$ | $0.999$ | $1.001$ | $1.01$ | $1.1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)=x+1$ | $1.9$ | $1.99$ | $1.999$ | $2.001$ | $2.01$ | $2.1$ |
左右两边都在往 $2$ 挤，可没有一个 $x$ 真的取到 $1$。这里的关键点很反直觉：极限回答的从来不是"这个点等于几"，而是"靠近这个点时，函数值往哪里收"。你甚至可以根本不看 $x=1$ 那个洞，也能确认这个趋势。
那问题出在哪？出在"往哪里收"这几个字太含糊。你现在凭的是感觉，等上了考卷，"越来越近"这句话既没法证伪也没法评分。你要是问别人"它为什么收敛到 2，而不是 1.9999"，除了"看起来是"给不出一个能逐步核验的答案。一个几何想法能把"趋近"换成一个能检验的动作：想象一个套在输入点上的小窗（离 $x=1$ 多远之内的 $x$ 都算数），再看对应的函数值落在一个多小的区间里。把输入窗收得越窄，输出窗应该能相应地压得越小。只要你能把输出压到"任意想要的那么小"，这个极限就是成立的；压不下去，就没有极限。3Blue1Brown
还差最后一层澄清：这套判断只看 $x$ 离那个点足够近时 $f(x)$ 有没有被关在某个高度附近，完全不在意你关心的那个点本身取什么值。Emory MATH 111. 这正是"没定义也能有极限"的根本原因：函数在 $x=1$ 没有值，不妨碍它在一整圈靠近 $1$ 的 $x$ 上稳定地贴着 $2$ 走。可"稳定贴着"太模糊，下一章我们先用一个最不像函数的对象，把这句话钉成能核验的句子：数列。
二、把"越来越近"钉成能核验的话——数列的 ε-N 语言
数列是一串排好序的数 $x_1,x_2,x_3,\dots$，比如 $x_n=\dfrac{n^2}{n^2+1}$：它开头是 $1/2,,4/5,,9/10,,16/17,\dots$，越往后越贴 $1$。比起一条连续曲线，数列是离散的点串，反而更干净，是学严格收敛定义最好的起点。
直觉上我们说"$x_n$ 趋近 $1$"。严格的讲法（讲义定义 2.2）是这么量化"趋近"的：
对每个 $\varepsilon>0$，都存在一个（足够大的）下标 $N$，使得只要 $n\ge N$，就有 $$|x_n-x|<\varepsilon .$$
拆开看，三个角色各管一件事。$\varepsilon$ 定容差，也就是"允许离极限多近"，它可以是任意给定的正数，你把它取得越小，要求就越苛刻。$N$ 定门槛，也就是"从第几项起算数"，我们不在乎前面几百项怎样，反正 $N$ 之后的项要全部满足。最后的连词保证"过了门槛的每一项都落进带 $(;x-\varepsilon,;x+\varepsilon)$ 内"。这样一句话把"越来越近"变成了可以检验的陈述：不管你把 $1$ 的外面画多细的一条带（$|\varepsilon|$ 多大），我都能报出一个 $N$，说从这一项起所有点都进了带。讲义在定义 2.2 旁边就放了一张这种收敛窗：
图注：讲义《数列收敛窗》：横轴是下标 $n$，纵轴是项 $x_n$。自某个 $N$ 起，离散的点全部落进以极限 $x$ 为中心、容差 $\pm\varepsilon$ 的窄带里。这张图把 ε 定容差、N 定门槛、N 之后全进带这三个角色一次说清，是定义 2.2 的几何读法；它只是示意，别当成对每个 ε 的完整遍历证明。
可是你可能会不服气：为什么非要用这么别扭的 $\varepsilon$、$N$？给一个看起来"一直变到 1"的反例你就明白了。考虑 $a_n=(-1)^n$，也就是 $1,-1,1,-1,1,-1,\dots$。它的绝对值 $|a_n|$ 一直等于 $1$，稳稳当当，可这个数列本身在 $1$ 和 $-1$ 之间来回跳，从不收敛到任何一个数。光靠"看起来差不多稳了"会误判，只有精确的 $\varepsilon$-$N$ 语言能告诉你它不满足收敛。这是"为什么要严格"最典型的例子。Paul 的 Sequences 讲义
不过你要是以为判收敛只能逐项硬抠 $\varepsilon$，那就多虑了。讲义给了两条"岔路"，能躲开大部分逐项的苦。第一条是夹逼定理（2.6）：如果能找到两个都收敛到同一极限 $L$ 的下界与上界，把某个数列夹在中间，那这个数列也收敛到 $L$。典型招数是利用 $-|a_n|\le a_n\le |a_n|$，当两侧极限都是 $0$ 时把中间的数列挤向 $0$。第二条是单调有界收敛定理（2.8）：如果一个数列一直单调上升、又被某个上界挡住，那它必然收敛，而且收敛值就是它的上确界；单调下降又有下界同理。这条定理的威力在构造欧拉数时立刻显现（讲义 2.9）：数列 $\left(1+\frac1n\right)^n$ 单调上升又被 $3$ 挡住，所以收敛，我们就把这个极限定义为 $e\approx 2.71828$。Math Is Fun 的入门页 用最口语的方式演示了带量词句式的第一次无省略证明，是这套严格语言的入门台阶。
所以判一个数列收不收敛有两条现成路线：夹逼"两头夹中间"，单调有界"单向逼墙"。现在就剩下一个别扭点要挪过去：数列是离散点串，可函数是一条连续曲线，而且 x 是从左右两边同时靠近一个点的。把同一套 $\varepsilon$ 语言搬到曲线的世界里，除了把下标换成距 a 的距离，还会多冒出一件在数列里我们没有直视过的东西，就是被趋近的那个点本身。答案很直接，下一章解开。
三、同一套语言搬到曲线上，为何偏偏要避开那个点？
设 $f$ 在 $a$ 附近（除 $a$ 本身外）都有定义。我们说 $\lim_{x\to a}f(x)=L$（讲义定义 2.15），指的是：对每个 $\varepsilon>0$ 都存在一个 $\delta>0$，使得只要 $x$ 满足 $0<|x-a|<\delta$，就有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。
和数列的定义逐词对应：$\varepsilon$ 仍是输出端的容差，$|x-a|<\delta$ 是说 $x$ 落在 $a$ 两侧 $\delta$ 宽的范围里，中间的符号 $0<|x-a|$ 是去心记号，意思就是"$x$ 不能等于 $a$ 本身"。$f$ 在 $a$ 处取值多少、甚至根本没有定义，都不在考察范围内，因为我们要用 $\delta$ 管住的只是想逼近 $a$ 的那些 $x$。一张紧贴在定义后面的窗图把这层意思放到曲线几何里：
图注：讲义《函数 ε-δ 窗》：在紧贴 a 两侧的去心输入范围 $0<|x-a|<\delta$ 里，曲线被夹进以 $L\pm\varepsilon$ 为界的一条水平带。带住的是"x 逼近 a 时 f 的高度"，不是 x=a 处那一列的取值，这正是"某点没定义也可有极限"的几何版本。
先给个与你直觉一致的提醒："对任意 $\varepsilon$"在外层，是它先出招；"存在 $\delta$"在内层，是你要接招。也就是说，无论对方把 $L$ 周围的带画得多细，你都得能还手报一个 $\delta$ 宽度的输入范围。次序反不过来：$\delta$ 是由给定的 $\varepsilon$ 决定的，大小不必唯一，只要给出一个能用的就行。LibreTexts 的统一逐短语总表 把 for every / there exists / conditional 读成了人话。那 "$x$ 靠近 $a$ 的范围内要取多大？"的直觉，可以用讲义图之外的这张三连图补上，它专门回答"是不是给越小 ε、δ 就得越紧，而且 δ 会唯一"：
图注：同一标准点极限，三幅子图从上到下给越来越小的 $\varepsilon$（$L\pm\varepsilon$ 的水平带变窄），可接受的 $\delta$（绕 $a$ 的输入区间）随之收窄；最下面的子图左右 $\delta$ 宽窄并不对称，说明把 $f$ 压进带内的 $\delta$ 不必唯一。LibreTexts / OpenStax Calculus 图 2.5.1
看到完全体之后，你会为考前最关心的一件事问：到底什么时候这个极限"存在"？教材给了一个漂亮判据（讲义 2.21）：$\lim_{x\to a}f(x)=L$ 当且仅当左极限 $\lim_{x\to a^-}f(x)$ 与右极限 $\lim_{x\to a^+}f(x)$ 都等于同一个有限数 $L$。对开篇那道题，从左边逼近（$x<1$）和从右边逼近（$x>1$）都收到 $2$，左右一致，所以极限存在且等于 $2$。反过来，"极限不存在"的反驳句式（讲义 Remark）可以对你可见：只要存在某个 $\varepsilon>0$，使得不论你把 δ 缩得多小，都能在去心邻域里找到一个 $x$ 落在 $L$ 的 $\varepsilon$ 带之外,极限就无从谈起。LibreTexts 用这个句式把 $\lim_{x\to0}|x|/x$ 判成不存在
你大概已经发现了：如果每道求极限的题都得回去对着 $\varepsilon$-$\delta$ 造一段证明，那效率低得离谱。有没有一套"搭好的规则"，让我们把新极限拆成已知极限、一步算出？这就是下一章的事：运算律与两个重要极限，让你不用每次都回到定义硬抠。
四、靠着一套运算规则，哪些极限能免去硬核验？
讲义把数列阶段的四条算术法则（2.4）照搬到函数上（2.17）：和的极限等于极限的和，差、积类似，商则要求分母极限不为零。还有复合规则（2.18）与函数侧夹逼（2.20）。这些规则的价值在于：当你已经认出一个初等局部极限的值，就可以像搭积木一样把新极限拆开，不必再退到 $\varepsilon$-$\delta$。
用它们回去解开篇那道题就很快：对 $x\ne 1$，$\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$，分子分母里的零因子 $(x-1)$ 约掉，剩下 $x+1$，于是 $x\to1$ 时它去 $2$。注意这里"先约掉零因子再代入"，跟"把 $0$ 直接代进分母"是两回事：我们在取极限，从来不让 $x$ 真的等于 $1$，所以那个使分母为零的单点对我们构不成障碍。MIT 18.01 的讲义点破了这层官方认识
有两条极限太常出现，得单独背下来，讲义 2.22 把它们列为两个重要极限。第一个是 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。为什么是 $1$ 而不是别的？在单位圆里取圆心角 $x$，竖高是 $\sin x$，而那段弧长恰好是 $x$（用弧度）。当 $x$ 很小时扇区收得很窄，竖直的高跟圆弧长差不了多少，比值就步步逼近 $1$。第二个是 $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$，它正好回链到第二章那个用单调有界构造出来的欧拉数。当你看到"$\sin(\cdot)/(\cdot)$ 型"或"$1+$ 一个小量再取一个大次幂"的形状，第一反应应当是认出这是这条公式，而不是四处找 $\varepsilon$-$\delta$。MIT 用同一单位圆扇区把 $\sin x/x$ 与 $(1-\cos x)/x$ 两条极限几何讲通
运算规则加两个重要极限，你手头就有了"不求证明地算已知极限"的组合拳。讲义 2.22 在一处 Remark 点明：这些基本初等函数（幂、根、指数、对数、三角函数）在其定义域内逐点都有"极限等于函数值"的性质，这正是下一章要研究的那个词的伏笔。要是哪一点碰巧不满足这个性质，我们又该怎么判？
五、"连续"到底指什么？——极限等于函数值与四类间断
直觉上"连续"就是曲线不断裂。可这句不能判分，判分要看的就是那条等式。讲义定义 2.24：函数 $f$ 在 $a$ 点连续，当且仅当 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$。
跟第三章那个去心定义对照着看是本章最值得花的一分钟：做极限时我们刻意不看 $f(a)$，可连续恰恰要求"这个点的函数值"必须等于"逼近这个点得到的极限值"。换句话说，连续比"极限存在"多了一个硬约束，点本身要有定义，而且取值要正好接上。所谓左右连续，是用单侧极限去对接端点。用第 2.25 条运算规则拼一连串连续函数，就能从少数基本函数搭出绝大多数初等函数，而上一章伏笔（2.22 推论）保证它们在定义域内都连续。
考试时怎么一眼认出断点？与其逐点验不等式，不如把判据过一遍。下表把四种断法按判据分开。四类断点（可去/跳跃/无穷/本性）的命名与判据取自 MIT 18.01 的间断分类，教程沿用该口径；第四类教程语境通称本性、英文作 essential：
| 断点类型 | 判据 | 长得像什么样 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 可去（removable） | 左右极限相同且有限，但 $\ne f(a)$ 或 $f(a)$ 未定义 | 曲线上一个可以"补"掉的洞 | $(x^2-1)/(x-1)$ 在 $x=1$，$\sin x/x$ 在 $0$ |
| 跳跃（jump） | 左右极限都存在但不相等 | 一个台阶 | $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $0$ |
| 无穷（infinite） | 至少一个单侧极限是 $+\infty$ 或 $-\infty$ | 竖直冲上天或扎下地 | $1/x$ 在 $0$：右趋 $+\infty$、左趋 $-\infty$ |
| 本性（essential） | 至少一个单侧极限连 $\pm\infty$ 都不是，根本不存在 | 来回抖个不停的振荡 | $\sin(1/x)$ 在 $0$ 附近 |
上面这张表的判据，正好是 MIT 18.01 的间断分类讲稿 写成的一串问答，可以直接当 check-list 背。通俗点的口径（洞、台阶、冲向无穷三个信号速记）见 Math Is Fun。注意：连续 ≠"看起来没断"，它就是一条可核验的等式 $\lim=f(a)$；而对几乎每个点用"有定义吗、极限存在吗、两者相等吗"三关问一遍，三关全过才在这点连续。反过来，遇到可去断点不必急着绝望，补一个合适的函数值就能让它连续（所以叫 removable 可去）。
一个函数在孤零零一个点上连续，还只是局部的漂亮；一旦它被困在一整条闭区间里且处处连续，就自动多出两个强承诺。这两个承诺，是替我们证明"某某方程在某段里必有解"的底气，也是下一章的主角。
六、压进一整条闭区间，连续能替我们证明"有解"——EVT 与介值定理
把一个在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数，跟"在开区间或半开区间连续"区分开，是本章第一件事。讲义只用一句话同时收了两件事（定理 2.26 与 2.27）：
- 极值定理 EVT：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则它在该区间有界，且能取到最大值与最小值。
- 介值定理 IVT：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则它取遍 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的每一个值。
介值定理的三个假设一个都不能省：函数要连续、区间要有界、区间还要闭合。开区间上的连续函数可以一路走高却从不停在最高点，一旦换成闭区间就被按住。介值定理的图景很直观。看下面这张经典示意图：一条连续曲线自左端点 $f(a)$ 走到右端点 $f(b)$，其间任意一条夹在两者之间的水平高度 $u$，都必然在某个 $x=c$ 处被这条曲线穿到。
图注：一条连续曲线从左端点高度 $f(a)$ 走到右端点 $f(b)$，那条水平红线对应某个介于两端之间的高度 $u$；既然曲线"一步没断"地跨过了 $u$，就必有一个竖直虚线标出的 $c$ 使 $f(c)=u$。这里的 $u$ 不一定要取零。（Public domain，Kpengboy）Wikipedia: Intermediate value theorem
$u$ 落零，就是零点定理（讲义 Bolzano's Theorem）的特例：如果 $f(a)\cdot f(b)<0$，两端一正一负，那连续曲线跨过中间的 $0$ 是不可避免的，也就是说区间里至少藏着一个根。它不告诉你根在哪，只担保它存在，而这正是海量存在性小题的整个思考方式。维基词条 顺带点破一个反向警示：能取遍所有中间值（介值性）并不足以推出连续，介值性只是连续的必要而非充分条件。
对念着"连续能干嘛"的读者来说，答案凝成一句：闭区间连续的函数，一手保最值，一手保中间值，两个都是证明"有解"的顺风车。想证 $g(x)=f(x)-x$ 有不动点，就去找两端异号，把问题套进 $g$，零点定理立刻甩给你一个不必知道位置的根。这种题的呼吸节奏正是"先找两端异号 -> 套 IVT"。那前几章小心翼翼地建立的 $\varepsilon$ 语言，现在派上收尾的用场了：是时候把整套工具翻回开篇那道"没定义却有答案"的题，练成考卷上一个不跳步、句句经得起核验的完整答案。
七、把前面的话收成能落笔的答案——回到那道题，连同 Exercise 2.52 全族
先说一句题外话，因为它是全章的心态：求出一个极限的具体值，和"证明极限存在"，经常是两回事。前者靠第四章的运算偷懒，后者在题目点名时要回到定义。考试常考的反向构造证明法，是定义 2.2/2.15 的直接使用，长成固定两步。
第一步凑 $\delta$（guess）。 任取 $\varepsilon>0$，从"要证的"不等式 $|f(x)-L|<\varepsilon$ 出发做代数化简，想办法把左边改写成一个含有 $0<|x-a|$ 因子的样子，从而反解出 $\delta$ 的一个候选，一般是对斜率型函数取 $\delta=\varepsilon/k$。
第二步核验（verify）。 写出"令 $\delta=\cdots$"，反着假设 $0<|x-a|<\delta$，代入一步步放缩回到 $|f(x)-L|<\varepsilon$，宣告由定义得证。Paul 的定义证明模板 把这种线性情形 $\delta=\varepsilon/k$ 的写法做成固定步骤，可直接照抄进考卷。做两遍不是多余，这类证明本来就长那样。
现在回到开篇那道题，写份能判分的答案。命题是 $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2$。第 3、5 章我们已把话说白：$x\ne1$ 处 $f(x)=x+1$ 连续，唯一的"坏点" $x=1$ 是一个左右极限都为 $2$、本应补成 $2$ 的可去洞。用定义落笔时，对 $x\ne 1$： $$f(x)-2=\frac{x^2-1}{x-1}-2=(x+1)-2=x-1,$$ 所以要 $|f(x)-2|<\varepsilon$ 只需 $|x-1|<\varepsilon$，取 $\delta=\varepsilon$，核验自然成立。全程只用了这一个小步骤，但要害在于你证明了"那个不定义的孔不妨碍极限为 2"。
讲义里的 Exercise 2.52 是这一类题的集大成，六小题共用同一套"心脏"。题目：设 $a>0$，求下列极限。我们把第一小题手把手做完，其余的你会看到只是把这套模子反复套。
(1) $\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x^2-a^2}}$
$x$ 从右侧靠近 $a$，所以 $x>a$，于是 $x-a>0$，分母里 $\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{(x-a)(x+a)}$ 可以放心取非负。第一步有理化分子： $$\sqrt{x}-\sqrt{a}=\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.$$ 代入整式： $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x^2-a^2}} =\frac{\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}}{\sqrt{(x-a)(x+a)}} =\frac{x-a}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})\sqrt{x-a},\sqrt{x+a}} =\frac{\sqrt{x-a}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})\sqrt{x+a}}.$$ 当 $x\to a^+$ 时，分母走向 $(\sqrt{a}+\sqrt{a})\sqrt{2a}$（一个正的常数），而分子 $\sqrt{x-a}\to0$，所以极限为 $0$。（以上数值由做法口头推出、讲义 Keys 只给思路未印发定值，建议自己复算一遍并保留推导链。）
理清一次之后，另外五小题全是同一条路子：用 $\sqrt x-\sqrt a=(x-a)/(\sqrt x+\sqrt a)$ 把分子约进可消的零因子，再由单边方向决定根号开口。比如从左侧 $x\to a^-$ 时 $x-a<0$，就得把 $x^2-a^2$ 写作 $a^2-x^2$、把 $\sqrt{x-a}$ 换成 $\sqrt{a-x}$，符号别搞反；至于 $x\to(-a)^\pm$ 的两小题，令 $t=-x$ 化归回 $a$ 一侧再处理。第 3 小题因为分子多带一个 $\sqrt{x-a}$，正好与分母里的 $\sqrt{x-a}$ 约成标准的 $1/\sqrt{x+a}$，极限趋向 $1/\sqrt{2a}$，这就是那类"约掉零因子后剩非零常数"的模样。
动笔前值得先过一遍第 5 章的三连问：左右都要一致极限才存在。Exercise 2.52 这类"正负号由去心方向决定"的合并题，考的就是你既会算了，还会交代单边方向。如今你已经有能力把开篇那句"跟着 2 走"的感觉，写成一连串判卷人挑不出毛病的推导，这正是我们这一路从直觉走到严格证明想要的结果：趋近不再是形容词，而是一句能被验证、能被判分的证明。
参考文献
本专题引用的核心资料如下，建议深入学习时阅读原文：
- HKUST-GZ《高等微积分 Honors Calculus》Chapter 2 Limits and Continuity（讲义正文+习题，本地上传件 HonorCalculus Aug_30，无在线 URL，定义/定理编号 2.1–2.30 的唯一权威主线）
- Paul's Online Math Notes – Calculus I: The Definition of the Limit — https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/DefnOfLimit.aspx
- Paul's Online Math Notes – Calculus II: Sequences (Section 10.1) — https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcii/Sequences.aspx
- MIT OCW 18.01SC – Session 4 Limits and Continuity / Session 5 Discontinuity — https://ocw.mit.edu/courses/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/pages/1.-differentiation/part-a-definition-and-basic-rules/session-4-limits-and-continuity/
- Mathematics LibreTexts – Calculus 1, The Precise Definition of a Limit — https://math.libretexts.org/Courses/American_River_College/Calculus_1_American_River_College/02%3A_Limits/2.05%3A_The_Precise_Definition_of_a_Limit
- Math Is Fun – Limits (Formal Definition) — https://www.mathsisfun.com/calculus/limits-formal.html
- Emory Math Center: The Epsilon Delta Definition of a Limit — https://mathcenter.oxford.emory.edu/site/math111/epsilonDelta/
- 3Blue1Brown – The (ε, δ) epsilon–delta definitions of limits — https://www.3blue1brown.com/lessons/epsilon-delta/
- Wikipedia – Intermediate value theorem — https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
- Math Is Fun – Continuous Functions — https://www.mathsisfun.com/calculus/continuity.html